Tomic functions and lacunary interpolation series in boundary value problems for partial derivatives equations and image processing

Abstract

In the paper we consider and solve the problem of construction of the so called tomic functions – the systems of infinitely differentiable functions which while retaining many important properties of the shifts of atomic function up(x) such as locality and representation of algebraic polynomials and being based on the atomic functions nevertheless have nonuniform character and therefore allow to take into account the inhomogeneous and changing character of the data encountered in real world problems in particular in boundary value problems for partial differential equations with variable coefficients and complex geometry of domains in which these boundary value problems must be solved. The same class of tomic functions can be applied to processing, denoising and sparse storage of signals and images by lacunary interpolation.

У статті розглядається та розв’язується задача побудови так званих томічних функцій – систем нескінченно диференційованих функцій, які зберігають багато важливих властивостей зсувів атомарної функції up(x), таких як локальність і представлення алгебраїчних поліномів і бути засновані на атомарних функціях, проте мають нерівномірний характер і, отже, дозволяють враховувати неоднорідний і мінливий характер даних, що зустрічаються в задачах реального світу, зокрема в граничних задачах для диференціальних рівнянь у частинних похідних зі змінними коефіцієнтами та складною геометрією областей, в яких ці повинні бути розв'язані крайові задачі. Той самий клас томічних функцій може бути застосований до обробки, усунення шумів і розрідженого зберігання сигналів і зображень за допомогою лакунарної інтерполяції.

В статье рассматривается и решается задача построения так называемых томических функций – систем бесконечно дифференцируемых функций, которые, сохраняя при этом многие важные свойства сдвигов атомарной функции up(x), такие как локальность и представление алгебраических многочленов и основанные на атомарных функциях, тем не менее имеют неоднородный характер и поэтому позволяют учитывать неоднородный и меняющийся характер данных, встречающихся в задачах реального мира, в частности в краевых задачах для уравнений в частных производных с переменными коэффициентами и сложной геометрией областей, в которых эти необходимо решить краевые задачи. Тот же класс томических функций можно применять для обработки, шумоподавления и разреженного хранения сигналов и изображений с помощью лакунарной интерполяции.