Axisymmetric problem of smoothing the surface of a viscous liquid by surface tension forces

Abstract

This study investigates an analytical solution to the problem of the surface levelling of viscous liquids under the influence of surface tension forces, focusing on the smoothing of plastic surfaces subjected to thermal energy treatment. This study aims to extend Orchard’s formula to axisymmetric surface irregularities and develop an analytical model for predicting levelling time, thereby ensuring efficient process control in thermal treatment applications. The tasks included deriving an analytical solution for axisymmetric levelling, validating it against numerical simulations in LS-DYNA, and incorporating the viscosity variation across the liquid layer. The methods involved analytical formulation and numerical simulation of surface evolution considering different initial surface geometries and viscosity distributions. Validation against numerical results demonstrated high accuracy for moderate and thick liquid layers and initial surface amplitudes up to 40% of the characteristic radius. Following validation, the model was applied to estimate levelling times for various surface configurations while maintaining simplicity while improving the predictive capabilities. Results showed that the extended formula effectively describes surface smoothing dynamics, including the cases with thickness-dependent viscosity, providing explicit expressions for levelling time. These findings enable precise control of heat input during thermal energy treatment, thereby optimizing the surface quality. In conclusion, the proposed analytical solutions offer a practical tool for surface levelling analysis, expanding the applicability of Orchard’s approach to more complex geometries and viscosity variations. In future work, we will focus on experimental validation and refinements to enhance the accuracy in industrial applications.

У цьому дослідженні розглядається аналітичне розв’язання задачі вирівнювання поверхні в’язких рідин під впливом сил поверхневого натягу, зосереджуючись на згладжуванні пластикових поверхонь під час їхнього термоенергетичного оброблення. Метою роботи є розширення формули Орчарда на осесиметричні нерівності поверхні та розроблення аналітичної моделі для прогнозування часу вирівнювання, що забезпечить ефективний контроль процесу термоенергетичного оброблення. Завдання дослідження включали виведення аналітичного розв’язку для осесиметричного вирівнювання, його верифікацію за допомогою числових моделювань у LS-DYNA та врахування зміни в’язкості в межах рідинного шару. Методи дослідження передбачали аналітичну формалізацію та числове моделювання еволюції поверхні, з урахуванням різних початкових геометрій нерівностей та розподілу в’язкості. Верифікація аналітичного рішення на основі числових розрахунків показала високу точність для середніх і товстих рідинних шарів та початкових амплітуд нерівностей до 40% від характеристичного радіуса. Після верифікації модель була застосована для оцінки часу вирівнювання різних конфігурацій поверхні, зберігаючи простоту при підвищенні прогностичної точності. Результати показали, що розширена формула ефективно описує динаміку згладжування поверхні, включаючи випадки з в’язкістю, що змінюється залежно від товщини шару, та забезпечує явні вирази для розрахунку часу вирівнювання. Отримані результати дозволяють точно контролювати теплове навантаження під час термічного оброблення, оптимізуючи якість поверхні. Висновки. Запропоновані аналітичні рішення є практичним інструментом для аналізу вирівнювання поверхонь, розширюючи застосування підходу Орчарда на більш складні геометрії та варіації в’язкості. Подальші дослідження будуть зосереджені на експериментальній перевірці та подальшому вдосконаленні моделей для підвищення точності у промислових застосуваннях.