Розв’язок задачі теорії пружності для шару з циліндричною порожниною та періодичним навантаженням на верхній межі шару

Abstract

Розв’язана просторова задача теорії пружності для шару з поздовжньою круговою циліндричною порожниною та періодичним навантаженням по верхній межі шару. Порожнина розташована паралельно межам шару. Ми маємо змішані умови - на нижній межі шару задані переміщення, верхній межі задані напруження. На поверхні циліндричної порожнини задані переміщення. Ми маємо другу основну просторову задача теорії пружності для шару з повздовжньою циліндричною порожниною при заданих на поверхні шару періодичних переміщеннях. Розв’язання виконано за допомогою аналітико-числового узагальненого методу Фур'є, застосованого до рівнянь Ламе в декартовій та локальній циліндричних системах координат. Для врахування періодичних навантажень застосовується додаткова задача з розкладанням розв’язку для шару (без порожнини) в ряди Фур’є. Загальним розв’язком є сума цих двох розв’язків. Задача зведена до нескінченої системи лінійних алгебраїчних рівнянь, яка розв’язується методом редукції. Проведено аналіз напружено-деформованого стану шару на поверхні порожнини та перешийках від порожнини до меж шару.

The spatial elasticity problem for a layer with a longitudinal circular cylindrical cavity and periodic loading on the upper boundary of the layer is solved. The cavity is positioned parallel to the boundaries of the layer. We have mixed conditions: displacements are specified on the lower boundary of the layer, while stresses are specified on the upper boundary. This is the second main spatial problem of elasticity theory for a layer with a longitudinal cylindrical cavity under periodic displacements applied on the layer’s surface. The solution is obtained using an analytical-numerical generalized Fourier method applied to the Lamé equations in Cartesian and local cylindrical coordinate systems. To account for periodic stresses, an auxiliary problem with a Fourier series expansion for the layer (without the cavity) is used. The overall solution is the sum of these two solutions. The problem is reduced to an infinite system of linear algebraic equations, which is solved using the reduction method. An analysis of the stress-strain state on the cavity surface and the ligaments between the cavity and the layer boundaries is presented.