Mathematical model of a vertical-axial wind motor in a viscous gas flow

Abstract

The development of vertical axial wind turbines in Ukraine is in its infancy for many reasons: the lack of systematic theoretical and experimental studies of the aerodynamic characteristics of various schemes of wind turbines, the lack of an appropriate experimental base in technical universities, design organizations, insufficient number of available publications in foreign literature due to high competition between by monopoly firms. At present, various numerical methods are widely used to solve urgent problems of aero hydrodynamics, which are used for the approximate solution of boundary value problems in the form of differential forms of mathematical models. Their common disadvantages are the particularity and laboriousness of solutions, high requirements for computing resources, and, as a consequence, the complexity of solving optimization problems and economic feasibility. These problems can be avoided by using exact or approximate analytical dependences, which allow solving some urgent problems of studying the interaction of a viscous gas with the bearing elements of both aircraft and engineering structures. The existing methods for calculating the aerodynamic characteristics, based on the ideology of the mathematical model of the motion of an ideal medium without viscous interaction, do not correspond to the real processes and demands of practice. The article presents the ideology of determining the aerodynamic characteristics of the interacting system of solid profiles in the configuration of a vertical-axial wind turbine in a viscous gas flow. Based on generalized vector-tensor analysis, contour integral representations of solutions to the main problem of fluid and gas mechanics related to the determination of kinematic and dynamic characteristics of interaction have been constructed. In addition, the existence of a vector potential of the tensor of stresses and deformation velocities has been proved, reducing, in the simplest cases, the process of determining characteristics to integration. The limit values of these integral representations are a system of boundary integral equations, allow for elementary algorithmization, and lead to a system of linear algebraic equations having a single solution.

Розвиток вертикально-осьових вітродвигунів в Україні знаходиться в зародковому стані з багатьох причин: відсутність систематичних теоретичних та експериментальних досліджень аеродинамічних характеристик різних схем вітротурбін, відсутність у технічних університетах проектних організаціях відповідної експериментальної бази, недостатня кількість доступних публікацій у зарубіжній літературі через високу конкуренцію фірмами-монополістами. В даний час для вирішення актуальних завдань аерогідродинаміки широко застосовуються різні чисельні методи, що застосовуються для наближеного вирішення крайових задач у вигляді диференціальних форм математичних моделей. х загальними недоліками є частковість і трудомісткість рішень, високі вимоги до обчислювальних ресурсів і, як наслідок, складність вирішення завдань оптимізації та економічної доцільності. Цих проблем можна уникнути, використовуючи точні або наближені аналітичні залежності, які дозволяють вирішувати деякі актуальні завдання дослідження взаємодії в'язкого газу з несучими елементами літальних апаратів, так і інженерних споруд. Існуючі методики розрахунків аеродинамічних характеристик, засновані на ідеології математичної моделі руху ідеального середовища без в'язкої взаємодії, не відповідають реальним процесам та запитам практики. У статті представлена ідеологія визначення аеродинамічних характеристик взаємодіючої системи тілесних профілів у конфігурації вертикально-осьового вітродвигуна в потоці в'язкого газу. На базі узагальненого векторно-тензорного аналізу побудовано контурні інтегральні представлення рішень основної задачі механіки рідини та газу, пов’язаної з визначенням кінематичних та динамічних характеристик взаємодії. Окрім цього, доведено існування векторного потенціалу тензора напруг і швидкостей деформацій, який зводить, у найпростіших випадках, процес визначення характеристик до інтегрування. Граничні значення цих інтегральних представлень – система граничних інтегральних рівнянь, що допускає елементарну алгоритмізацію і призводить до системи лінійних алгебраїчних рівнянь, що мають єдиний розв’язок.

Развитие вертикально-осевых ветродвигателей в Украине находится в зачаточном состоянии по многим причинам: отсутствие систематических теоретических и экспериментальных исследований аэродинамических характеристик различных схем ветротурбин, отсутствие в технических университетах проектных организациях соответствующей экспериментальной базы, недостаточное количество доступных публикаций в зарубежной литературе из-за высокой конкуренции между фирмами-монополистами. В настоящее время для решения актуальных задач аэрогидродинамики широко применяются различные численные методы, применяемые для приближенного решения краевых задач в виде дифференциальных форм математических моделей. Их общими недостатками являются частность и трудоемкость решений, высокие требования к вычислительным ресурсам и, как следствие, сложность решения задач оптимизации и экономической целесообразности. Этих проблем можно избежать, используя точные или приближенные аналитические зависимости, которые позволяют решать некоторые актуальные задачи исследования взаимодействия вязкого газа с несущими элементами как летательных аппаратов, так и инженерных сооружений. Существующие методики расчетов аэродинамических характеристик, основанные на идеологии математической модели движения идеальной среды без вязкого взаимодействия, не соответствуют реальным процессам и запросам практики. В статье представлена идеология определения аэродинамических характеристик взаимодействующей системы телесных профилей в конфигурации вертикально-осевого ветродвигателя в потоке вязкого газа. На базе обобщенного векторно-тензорного анализа построены контурные интегральные представления решений основной задачи механики жидкости и газа, связанной с определением кинематических и динамических характеристик взаимодействия. Кроме этого, доказано существование векторного потенциала тензора напряжений и скоростей деформаций, сводящий, в простейших случаях, процесс определения характеристик к интегрированию. Предельные значения этих интегральных представлений – система граничных интегральных уравнений, допускает элементарную алгоритмизацию и приводит к системе линейных алгебраических уравнений, имеющих единственное решение.