Аналитико-численное решение основной краевой задачи о спектре в прямоугольнике для составного оператора с бигармоническим в главной части

Abstract

Дано решение задачи о спектре в прямоугольнике для составного оператора при главных краевых условиях. Ведущим в составном операторе является бигармонический, а подчиненным – оператор второго порядка с переменными коэффициентами, содержащий параметр. Предложенный подход позволяет определить собственные значения и собственные функции с любой наперед заданной точностью. Все вычислительные процедуры метода (а, следовательно, и сам метод) обладают безусловной устойчивостью, быстрой сходимостью и высокой точностью. Предложена процедура упрощения структуры собственных функций путем выявления их компонент типа «белого шума». Дано решение восьми краевых задач о спектре, отличающихся различным сочетанием действующих в плоскости пластины нагрузок и параметром их интенсивности. Анализ характера решения краевой задачи продольно-поперечного изгиба пластины при параметре интенсивности предварительно напряженного поля, приближающемся к своему критическому значению, позволил сделать вывод, что подобные задачи должны решаться в геометрически нелинейной постановке, хотя критическое состояние еще не достигнуто. Вычисления выполнены с привлечением оригинальных программ, составленных авторами.

Дано рішення задачі про спектр у прямокутнику для складового оператора за головних крайових умов. Провідним у складовому операторі є бігармонійний, а підлеглим – оператор другого порядку зі змінними коефіцієнтами, що містить параметр. Запропонований підхід дозволяє визначити власні значення та власні функції з будь-якою наперед заданою точністю. Усі обчислювальні процедури методу (а, отже, і сам метод) мають безумовну стійкість, швидку збіжність і високу точність. Запропоновано процедуру спрощення структури власних функцій шляхом виявлення їх компонентів типу «білого шуму». Дано рішення восьми крайових завдань про спектр, що відрізняються різним поєднанням навантажень, що діють у площині пластини, і параметром їх інтенсивності. Аналіз характеру вирішення крайової задачі поздовжньо-поперечного вигину пластини при параметрі інтенсивності попередньо напруженого поля, що наближається до свого критичного значення, дозволив зробити висновок, що подібні завдання повинні вирішуватися в геометрично нелінійній постановці, хоча критичний стан ще не досягнуто. Обчислення виконано із залученням оригінальних програм, складених авторами.