Узагальнення моделі Фолькерсена на випадок осьової симетрії

Abstract

Тонкостінні конструкції можуть містити дефекти у вигляді отворів і тріщин, які є дефектами матеріалу, з якого виготовлено конструкцію, або виникають у процесі експлуатації внаслідок, наприклад, механічних пошкоджень. Наявність отворів у пластині спричиняє концентрацію напружень на межі отворів, що призводить, у кінцевому підсумку, до передчасного виходу елемента конструкції з ладу. Ремонт локальних пошкоджень сучасних авіаційних конструкцій може проводитися з допомогою накладок, які приклеюються до основної конструкції. Накладка бере на себе частину навантаження, розвантажуючи пошкоджену ділянку. Такий спосіб ремонту забезпечує герметичність та аеродинамічну ефективність конструкції. Розрахунок напруженого стану таких клеєних конструкцій проводиться зазвичай з допомогою методу скінченних елементів. Класичні моделі напруженого стану з'єднань унапуск є одновимірними, тобто розглядається змінення напруженого стану лише вздовж однієї координати, причому розглядаються з'єднання прямокутної форми. Метою цієї роботи є створення математичної моделі напруженого стану кругових вісесиметричних клейових з'єднань і побудова відповідного аналітичного розв’язку задачі. Передбачається, що вигину пластин немає, деформації пластин є рівномірними по товщині. Клейовий шар працює тільки на зсув. Основна пластина і накладка вважаються ізотропними. Розв’язок будується в полярних координатах. Напружений стан з'єднання залежить тільки від радіальної координати, тобто є одновимірним. Розв’язок отримано в аналітичній формі. Ця математична модель являє собою узагальнення класичної моделі клейового з'єднання Фолькерсена на кругову або кільцеву область і розглядається вперше. Крайові умови задовольняються точно. Виконання крайових умов, а також умов сполучення приводить до системи лінійних рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів отриманих розв’язків. Розв’язано модельну задачу й проведено порівняння числових результатів з результатами розрахунків, виконаних за методом скінченних елементів. Показано, що запропонована модель має достатню для інженерних задач точність і може бути використана для розв’язання задач проектування конструкцій аерокосмічної техніки.

Thin-walled structures may contain defects as cracks and holes that are leftovers of the material the construction, is made of or they occur during the operation as a result of, for example, mechanical damage. The presence of holes in the plate causes a concentration of stresses at the boundary of the holes and ultimately leads to premature failure of the structural element. Repair of local damage of modern aircraft structures can be made by creating overlays that are glued to the main structure. The overlay takes on part of the load, unloading the damaged area. This method of repair provides tightness and aerodynamic efficiency to the structure. The calculation of the stress state of such glued structures is usually performed by using the finite element method. The classic models of the stress state of overlapped joints are one-dimensional. That is, the change of the stress state along only one coordinate is considered. At the same time, the connections of a rectangular form are also considered. The purpose of this work is to create a mathematical model of the stress state of circular axisymmetric adhesive joints and to build an appropriate analytical solution to the problem. It is assumed that the bending of the plates is absent; the deformation of the plates is even by thickness. The adhesive layer works only on the shift. The main plate and the overlay are considered isotropic. The solution is built on polar coordinates. The stress state of the connection depends only on the radial coordinate, i.e. one-dimensional. The solution is obtained in analytical form. This mathematical model is a generalization of the classical model of the adhesive connection of Volkersen to a circular or annular region and is considered for the first time. Boundary conditions are met exactly. The satisfaction of marginal conditions, as well as boundary conditions, leads to a system of linear equations with respect to the unknown coefficients of the obtained solutions. The model problem is solved and the numerical results are compared with the results of calculations performed by using the finite element method. It is shown that the proposed model has sufficient accuracy for engineering problems and can be used to solve problems of the design of aerospace structures.