About the Kyiv school mathematicians contribution to the extrema of functions of many variables theory

Abstract

The subject of this article is the study of Kyiv school mathematicians’ contribution to the many variable extrema function theory. The purpose of this article is to study the work of Kyiv mathematician Professor M. Ye. Vashchenko-Zakharchenko. Task: for the first time, to carry out a detailed analysis of the results obtained in the article by M. Ye. Vashchenko-Zakharchenko «Signs of the highest and lowest value of functions». The research method is a historical and scientific analysis of the original source, which allows the scientific results obtained in the late 19th and early 20th centuries to be estimated from the viewpoint of modern mathematical analysis. The following results were obtained. Thanks to the analysis of this article, it was found out that here M. Ye. Vashchenko-Zakharchenko first used the methods of linear algebra and applied D. Sylvester’s criterion of positive (negative) definiteness of quadratic form to obtain sufficient conditions for the existence of an extremum of functions of many variables. The problem is considered in general for functions of many variables and for special cases of functions of two and three variables. Conclusions. Comparing the results obtained from the Kyiv mathematician, Professor M. Ye. Vashchenko-Zakharchenko with the presentation of this topic in modern textbooks on higher mathematics and mathematical analysis, we can conclude that they are included in these textbooks in virtually the same form. This is what determines the relevance of this topic: methods for solving problems for the extremum of functions of many variables, obtained at the turn of the 19th and 20th centuries, are used in modern optimization problems. The breadth of the scientific erudition of M. Ye. Vashchenko-Zakharchenko allowed him to immediately perceive new methods obtained by foreign scientists and immediately find their application to obtain sufficient conditions for the existence of an extremum of functions of many variables. This shows the high scientific level of the state of mathematics at Kyiv University in the second half of the 19th century. Further research should focus on the contribution of other mathematicians of the Kyiv school to the development of the theory of extrema of functions of many variables.

Предметом вивчення статті є дослідження внеску математиків київської школи математиків у теорію екстремумів функцій багатьох змінних. Метою є вивчення доробку київського математика професора М. Є. Ващенко-Захарченка. Завдання: вперше провести детальний аналіз результатів, отриманих у статті М. Є. Ващенка-Захарченка «Ознаки найбільшого та найменшого значення функцій». Використовуваними методами є: історико-науковий аналіз першоджерел, який дозволяє наукові результати, отримані наприкінці 19 на початку 20 століть, оцінити з точки зору сучасного математичного аналізу. Отримані такі результати. Завдяки проведеному вперше аналізу цієї статті з’ясовано, що тут М. Є. Ващенко-Захарченком вперше використано методи лінійної алгебри та застосовано власне критерій Д. Сильвестра додатної (від’ємної) визначеності квадратичної форми для отримання достатніх умов існування екстремуму функцій багатьох змінних. Задача розглядається в загальному вигляді для функцій багатьох змінних і для окремих випадків функцій двох і трьох змінних. Висновки. Порівнюючи отримані київським математиком професором М. Є. Ващенко-Захарченком результати з викладом даної тематики в сучасних підручниках з вищої математики та математичного аналізу, можна зробити висновок, що вони входять до цих підручників фактично в тому самому вигляді. Саме цим і визначається актуальність даної теми: методи розв’язування задач на екстремум функцій багатьох змінних, отримані на зламі 19 – 20 століть застосовуються в сучасних задачах оптимізації. Широта наукової ерудиції професора М. Є. Ващенко-Захарченка дала йому змогу одразу сприйняти нові методи, отримані закордонними вченими, і одразу знайти їм застосування для отримання достатніх умов існування екстремуму фун-кцій багатьох змінних. Це показує високий науковий рівень стану математики в Київському університеті в другій половині 19 століття. Подальші дослідження слід спрямувати на вивчення внеску інших математиків київської школи в розвиток теорії екстремумів функцій багатьох змінних.