Метод та дослідження точності обчислювання математичної моделі електрогідравлічного ефекту

Abstract

Математична модель електрогідравлічного ефекту (ЕГЕ) являє собою систему нелінійних нестаціонарних диференціальних рівнянь в частинних похідних (ДРЧП), яка відображує рух та контактну взаємодію двох середовищ, газоподібного та рідкого, під дією імпульсного теплового збудження. Такі системи ДРЧП загалом не мають аналітичних рішень та вирішуються лише чисельними методами, які за своєю природою є наближеними, тобто дають рішення з якоюсь похибкою. Особливістю руху середовищ в разі ЕГЕ є великі деформації у вигляді течій та вихорів. Ця особливість накладає суттєві обмеження на вибір методу обчислення ДРЧП моделі. Широковідомий метод лагранжевих скінченних елементів, який використовується для рішення контактних задач, у випадку моделювання ЕГЕ призводить до патологічної зміни форми скінченних елементів, а через те – до нестійкості розрахункового процесу та необмеженого зростання похибки. В розрахунковій практиці знайшов поширення варіант методу скінченних елементів, МСЕ-ALE, який використовує як лагранжеві, так і ейлерові мережі вузлів та спеціальну процедуру адвекції, тобто переносу за рахунок інтерполяції рішення з лагранжевої мережі на Ейлерові, а потім навпаки з ейлеревої на іншу нову лагранжеву мережу. Така додаткова процедура інтерполяції, яка під час розрахунку використовується багаторазово, призводить до додаткових (в порівнянні з лагранжевим МСЕ) похибок. Якщо причини та кінетика, а також методи контролю похибок у випадку лагранжевого МСЕ достатньо вивчені в літературі, то кінетика розвитку похибок при моделюванні ЕГЕ за методом МСЕ-ALE практично не вивчена. Стаття присвячена дослідженню розвитку похибок чисельного рішення саме в цьому випадку. Отримано аналітичне рішення задачі в асимптотичному випадку для технологічної системи з жорсткою камерою. Це рішення аналізується в порівнянні з чисельним рішенням за методом МСЕ-ALE. Зроблені висновки відносно похибок розрахунку тиску як основного фактору механічної дії ЕГЕ на технологічний об’єкт та технологічне оснащення, а також похибок обчислення деформацій газоподібного та рідкого середовищ. Наукова новизна полягає в розробці методу визначення точності розрахункі в параметрів ЕГЕ за методом МСЕ-ALE. Практична цінність полягає в визначенні точності обчислення параметрів математичної моделі ЕГЕ, що дає змогу обґрунтовувати використання чисельного моделювання в якості методу дослідження технологічних процесів та систем, що використовують ЕГЕ.

The mathematical model of the electrohydraulic effect (EHE) is a nonlinear nonstationary system of partial differential equations (PDE), which reflects the motion and contact interaction of two media, gaseous and liquid, under the action of pulsed thermal excitation. Such PDE systems generally do not have analytical solutions and are solved only by numerical methods, which are approximate in nature, i.e. they provide a solution with some error. The peculiarity of the motion of media in the case of EHE is large deformations in the form of flows and vortices. This feature imposes significant restrictions on the choice of the method for solving the PDE model. The widely known Lagrangian finite element method used to solve contact problems, in the case of EHE modeling leads to a pathological change in the shape of the finite elements, and therefore to instability of the calculation process and an unlimited increase in error. In calculation practice, a variant of the finite element method, FEM-ALE, has become widespread. It uses both Lagrangian and Eulerian grids of nodes and a special advection procedure, i.e., transfer by interpolation of the solution from the Lagrangian grid to the Eulerian one, and then vice versa from the Eulerian one to another new Lagrangian grid. Such an additional interpolation procedure, which is used repeatedly in the calculation, leads to additional (in comparison with the Lagrangian FEM) errors. If the causes and kinetics, as well as the methods of error control in the case of the Lagrangian FEM, have been sufficiently studied in the literature, then the kinetics of error development in the simulation of the EGE using the FEM-ALE method has been practically not studied. The article is devoted to the study of the development of errors in the numerical solution in this particular case. An analytical solution of the problem in the asymptotic case for a technological system with a rigid chamber is obtained. This solution is analyzed in comparison with the numerical solution using the FEM-ALE method. Conclusions are made regarding the errors in calculating pressure as the main factor of mechanical impact of EGE on the technological object and technological equipment, as well as errors in calculating deformations of gaseous and liquid media. The scientific novelty consists in the development of a method for determining the accuracy of EHE parameter calculations using the MSE-ALE method. The practical value lies in determining the accuracy of calculating the parameters of the EHE mathematical model, which makes it possible to justify the use of numerical modeling as a method of researching technological processes and systems using EHE.