Числове дослідження базисних систем при розв'язуванні аналітико-числовими методами крайових задач на відрізку

Abstract

Порівнювались швидкість збіжності наближеного розв’язку до точного, нев’язка в рівняннях крайових задач і числа обумовленості матриць систем лінійних алгебраїчних рівнянь, до яких приводять варіаційні, проекційні методи та метод колокації. Дослідження виконано на трьох тестових задачах, що моделюють вигин балки: класичний вигин балки нерівномірно розподіленим навантаженням, вигин додатково розтягнутої балки на пружній основі та геометрично нелінійний вигин. Досліджено вплив ефекту Гіббса на збіжність наближених розв’язків. Серед розглянутих базисних систем найкращою виявилася система базисних функцій у вигляді лінійних комбінацій поліномів Лежандра, які задовольняють всім крайовим умовам. Цей базис приводить до найбільшої швидкості прагнення наближених розв’язків до точного, нев’язки в рівняннях – до нуля, а також має найменше зростання чисел обумовленості зі збільшенням порядку матриць систем лінійних алгебраїчних рівнянь, до яких приводять варіаційні та проекційні методи. Найгіршими у плані точності та збіжності виявилися фінітні функції методу скінченних елементів.

Сравнивались скорость сходимости приближенного решения к точному, невязка в уравнениях краевых задач и числа обусловленности матриц систем линейных алгебраических уравнений, к которым приводят вариационные, проекционные методы и метод коллокации. Исследование выполнено на трех тестовых задачах, моделирующих изгиб балки: классический изгиб балки неравномерно распределенной нагрузкой, изгиб дополнительно растянутой балки на упругом основании и геометрически нелинейный изгиб. Исследовано влияние эффекта Гиббса на сходимость приближенных решений. Среди рассмотренных базисных систем лучшей оказалась система базисных функций в виде линейных комбинаций полиномов Лежандра, которые удовлетвряют всем краевым условиям. Этот базис приводит к наибольшей скорости стремления приближенных решений к точному, невязки в уравнении к нулю, а также наименьшему росту чисел обусловленности с увеличением порядка матриц систем линейных алгебраических уравнений, к которым приводят вариационные и проекционные методы. Наихудшим в плане точности и сходимости оказались финитные функции метода конечных элементов.